Testez votre niveau avec ces extraits d’épreuves du CRPE et leurs corrigés, sélectionnés dans un ouvrage de préparation Maths, publié chez Hachette Éducation.
Maths, Cours, Entraînement, Méthodologie, de Alain Descaves
Hachette Éducation, Collection Objectif CRPE Admissibilié Écrit
Septembre 2014 – 608 pages – ISBN : 978-2-01-140430-5
Extraits de sujets du CRPE de la session d’avril 2014 :
- du groupement académique 1 (exercices 1 à 3) : académies d’Amiens, Caen, Lille, Nancy-Metz, Reims, Rennes, La Réunion, Rouen, Strasbourg, Paris, Créteil, Versailles ;
- du groupement académique 2 (exercice 4) : académies d’Aix-Marseille, Besançon, Bordeaux, Clermont-Ferrand, Corse, Dijon, Grenoble, Limoges, Lyon, Montpellier, Nantes, Nice, Orléans-Tours, Poitiers, Toulouse ;
- du groupement académique 3 (exercice 5) : académies de Guadeloupe, Guyane, Martinique.
Exercice 1
Le cross du collège a eu lieu. 200 élèves de troisième ont franchi la ligne d’arrivée. Voici les indicateurs des performances réalisées en minutes.
Répondre aux questions suivantes en justifiant.
1. Quelle est la performance en minutes du dernier arrivé ?
2. Quelle est la somme des 200 performances en minutes ?
3. Ariane est arrivée 13e. Donner l’encadrement le plus précis possible de sa performance en minutes.
4. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
Affirmation : Plus de 50 % des élèves ont mis un temps supérieur au temps moyen.
Exercice 2
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse. (Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n’enlève pas de point).
1. Affirmation 1 : La somme de cinq nombres entiers consécutifs est un multiple de 5.
2. Shéhérazade commence à lire un conte un lundi soir. Elle lit 1 001 nuits consécutives. Affirmation 2 : Elle terminera un dimanche soir.
3. Affirmation 3 : La somme des angles d’un pentagone convexe est égale à 540°.
Exercice 3
On considère un dé à quatre faces en forme de tétraèdre régulier. Ses quatre faces sont numérotées de 1 à 4. Le résultat d’un lancer est le nombre indiqué sur la face sur laquelle repose le dé. Le dé est supposé équilibré.
1. On a lancé le dé six fois et obtenu la série de résultats : 1 ; 2 ; 4 ; 1 ; 1 ; 2.
Au 7e lancer, la probabilité d’obtenir le nombre 1 et celle d’obtenir le nombre 3 sont-elles différentes ?
2. On lance le dé deux fois de suite.
a) Quelle est la probabilité d’obtenir une seule fois le nombre 1 lors de ces deux lancers ?
b) Quelle est la probabilité que le nombre obtenu au deuxième lancer soit strictement supérieur au nombre obtenu au premier lancer ?
Exercice 4
En classe de CM2, un professeur propose l’exercice suivant : Mathis a effeuillé des fleurs à 5 pétales en disant « j’aime les maths… un peu…, beaucoup…, passionnément…, à la folie ». Il a ôté 83 pétales en tout. Il n’est passé à la fleur suivante que lorsqu’il avait complètement effeuillé la fleur précédente. Combien de fleurs a-t-il effeuillé en totalité ? Sur la dernière fleur qu’il a effeuillée, reste-t-il des pétales ?
1. De quelle opération mathématique ce problème relève-t-il ?
2. Proposer trois procédures possibles pour répondre à la question posée.
Exercice 5
Voici la formule de l’énergie cinétique d’un objet : Ec = ½ × m × v² dans laquelle Ec désigne l’énergie cinétique en joule (J) ; m désigne la masse de l’objet en kilogramme (kg) ; v désigne la vitesse de l’objet en mètre par seconde (m/s).
1. Calculer l’énergie cinétique en joule pour un camion d’une tonne qui roule à une vitesse de 100 km/h.
2. L’énergie cinétique est-elle proportionnelle à la vitesse ? Justifier.
CORRIGÉS
Exercice 1
1. L’étendue est la différence entre la valeur la plus haute et la valeur la plus basse.
12,5 + 4,2 = 16,7
La performance du dernier arrivé est donc 16,7 minutes.
2. La moyenne des 200 performances est 15,4 minutes.
15,4 × 200 = 3 080, donc la somme des 200 performances est 3 080 minutes.
3. Ariane étant arrivée 13e, elle se situe dans le premier quart des coureurs. Sa performance est donc comprise entre 12,5 minutes (minimum) et 14,8 minutes (premier quartile).
4. La moitié des élèves ont mis un temps supérieur à la médiane, c’est-à-dire à 15,7 minutes. On peut donc en conclure que plus de la moitié des élèves ont mis un temps supérieur à 15,4 minutes. L’affirmation est donc vraie.
Exercice 2
1. Affirmation 1 : La somme de cinq nombres entiers consécutifs est un multiple de 5.
Soit n le troisième nombre de la suite des cinq nombres.
Les nombres étant consécutifs, les cinq nombres peuvent s’exprimer en fonction de n de la manière suivante : (n – 2), (n – 1), n, (n + 1), (n + 2).
Soit S leur somme. On a : S = (n – 2) + (n – 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = 5 n. La somme de cinq nombres consécutifs est donc un multiple de 5 et l’affirmation 1 est vraie.
2. Affirmation 2 : Elle terminera un dimanche soir.
On constate que 1 001 = 143 × 7.
1 001 jours correspondent exactement à 143 semaines.
Si Shéhérazade commence un lundi soir, elle terminera un dimanche soir. L’affirmation 2 est donc vraie.
Affirmation 3 : La somme des angles d’un pentagone est égale à 540°.
On trace les deux diagonales issues d’un même sommet.
La somme des angles du pentagone est égale à la somme des angles des trois triangles.
La somme des angles d’un triangle étant égale à 180°, la somme des angles des trois triangles est égale à 3 × 180° = 540°.
La somme des angles d’un pentagone est donc égale à 540°. L’affirmation 3 est vraie.
Exercice 3
1. Le dé est jugé parfaitement équilibré, donc la probabilité d’obtenir 1 et celle d’obtenir 3 sont égales. Elles ne dépendent pas des lancers précédents.
2. Si le premier lancer donne 1 pour résultat, il y a 3 chances sur 4 pour que le résultat du second lancer soit supérieur.
Si le premier lancer donne 2, il y a 2 chances sur 4 pour que le résultat du second lancer soit supérieur.
Si le premier lancer donne 3, il y a 1 chance sur 4 pour que le résultat du second lancer soit supérieur.
Au total, il y a 6 cas favorables.
Le nombre total de possibilités sur deux lancers est 16 (4 × 4) : (1 ; 1) ; (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; (1 ; 4) ; (2 ; 1) ; (2 ; 2) ; (2 ; 3) ; (2 ; 4) ; etc.
La probabilité que le nombre obtenu au deuxième lancer soit strictement supérieur au nombre obtenu au premier lancer est donc de 6/16 ou 3/8.
Exercice 4
1. Ce problème relève de la division euclidienne. Il s’agit de diviser 83 par 5 et de prendre en compte le reste.
2. 1e méthode :
On a : 83 = 16 × 5 + 3
Pour ôter 83 pétales, il convient d’effeuiller 16 fleurs et il restera 2 pétales sur la dernière fleur.
On peut obtenir ce résultat par la division euclidienne de 83 par 5 (quotient 16 et reste 3).
• 2e méthode :
On cherche à encadrer 83 par deux multiples consécutifs de 5.
On a : 80 < 83 < 85, donc 16 × 5 < 83 < 17 × 5.
Il reste 2 pétales (5 – 3).
• 3e méthode :
On cherche à atteindre 83 par une somme de multiples de 5 : 50 + 30 = 80. 50 et 30 sont des multiples de 5.
Il restera 2 pétales sur la dernière fleur.
Dans tous les cas, on peut dire que 83 n’est pas un multiple de 5 et qu’il restera forcément des pétales sur la dernière fleur effeuillée.
Exercice 5
1. Ec = ½ × m × v²
Une vitesse de 100 km/h correspond à une vitesse de 1 000/36 m/s.
En effet, 100 km c’est 100 000 m, et 1 heure c’est 3 600 s. 100 000/3 600 = 1 000/36.
Ec = 1/2 × 1 000 × (1 000/36)² ≈ = 500 × 771,6 ≈ = 385 802 J.
2. L’énergie cinétique n’est pas proportionnelle à la vitesse, mais au carré de la vitesse. Pour une vitesse double, l’énergie cinétique est multipliée par 4. Si on triple la vitesse, on multiplie l’énergie cinétique par 9.
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